Ebenengleichungen

Vektorrechnung

Basiswissen

Kurzübersicht mit Bauplänen

• a) x = p + r·v1 + s·v2 Parameterform der Ebene ↗
  

• b) n·X = d Allgemeine Normalenform der Ebene ↗
  

• c) (X-p)·n = 0 Punkt-Normalenform der Ebene ↗
  

• d) X·n₀ = d Hessesche Normalenform der Ebene ↗
  

• e) ax + by + cz = d Koordinatenform der Ebene ↗
  

• f) x/xo + y/yo + z/zo = 1 Achsenabschnittsform der Ebene ↗
  

Kurzübersicht mit Zahlen

• a) (4|4|0)+r(-1|1|0)+s(-1|-1|1) Parameterform der Ebene ↗
  

• b) X·^[1|1|2]=8 Allgemeine Normalenform der Ebene ↗
  

• c) (X-(4|4|0))·(1|1|2)=0 Punkt-Normalenform der Ebene ↗
  

• d) X·^{[1/√6|1√6|2/√6]}=8/√6 Hessesche Normalenform der Ebene ↗
  

• e) 1x+1y+2z=8 Koordinatenform der Ebene ↗
  

• f) x/8+y/8+z/4=1 Achsenabschnittsform der Ebene ↗
  

Parameterform

• Man hat einen Stützvektor [p] ↗
  

• Man hat zwei Spannvektoren [v1, v2] ↗
  

• r und s oder Lambda und My sind die Laufparameter ↗
  

• Mehr unter Parameterform der Ebene ↗
  

Koordinatenform

• Sie sieht aus wie eine Gleichung mit drei Unbekannten.
  

• 4x+8y-2z=20 wäre zum Beispiele eine Ebenengleichung.
  

• Die Zahlen 4, 8 und -2 sind hier sogenannten Koeffizienten ↗
  

• Zusammen bilden sie einen sogenannten Normalenvektor ↗
  

• Mehr unter Koordinatenform der Ebene ↗
  

Punkt-Normalenform

• Man hat einen Vektor x und einen Stützvektor [p] ↗
  

• Außerdem hat man einen = Normalenvektor [n]
  

• Der Term (x-p)·n gibt immer 0 und ist ein Skalarprodukt ↗
  

• Mehr unter Punkt-Normalenform der Ebene ↗
  

Allgemeine Normalenform

• Man hat einen Vektor x und einen Stützvektor [p] ↗
  

• Außerdem hat man einen Normalenvektor [n]
  

• Das Skalprodukt n·p ergibt immer eine feste Zahl, ein Skalar ↗
  

• Mehr unter Allgemeine Normalenform der Ebene ↗
  

Hessesche Normalenform

• Man hat einen Vektor x und einen Stützvektor [p] ↗
  

• Außerdem hat man einen normierten Normalenvektor [n] ↗
  

• Dieser Vektor hat immer die Länge 1, ist also normiert ↗
  

• Das Skalprodukt n·p ergibt immer eine feste Zahl, ein Skalar ↗
  

• Die feste Zahl ist der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung ↗
  

• Mehr unter Hessesche Normalenform der Ebene ↗
  

Achsenabschnittsform

• x/2 + y/4 + z/2 = 1
  

• Die Zahlen im Nenner (unten) stehen für die Achsenabschnitte ↗
  

• Die Zahlen geben direkt die Spurpunkte ↗
  

• Mehr unter Achsenabschnittsform der Ebene ↗
  

Kann man die Formen ineinander umwandeln?

• Ja, das geht so gut wie immer.
  

• Für die 6 Grundtypen gibt es 30 Umwandlungsmöglicheiten.
  

• Diese sind kurz erklärt unter Ebenengleichungen umwandeln ↗