e-Funktion
Definition
Basiswissen
Eine Exponentialfunktion bei der die Eulersche Zahl e in der Basis (unten) bei einer Potenz steht und im Exponenten ein x vorkommt nennt man eine e-Funktion: f(x)=e^x: eine Funktion, bei der das x im Exponenten einer Potenz vorkommt und die Basis die Eulersche Zahl e (etwa 2,718) ist, heißt e-Funktion.
Kurzdefinition
- Allgemeiner Bauplan: f(x) = a·eᵀᵉʳᵐ ᵐⁱᵗ ˣ
- Wichtig: Das e ist die Basis einer Potenz.
- Wichtig: Das x steht im Exponenten der Potenz.
Erläuterung
- Die e-Funktion ist eine spezielle Exponentialfunktion:
- Eine Funktion der Form "a hoch x" nennt man eine Exponentialfunktion.
- a ist ein Platzhalter für eine beliebige reelle Zahl.
- Das a nennt man auch die Basis, das x ist hier der Exponent.
- Ist die Basis a die Eulersche Zahl e, spricht man von der e-Funktion.
- e ist ungefähr 2,71828, mehr unter Eulersche Zahl ↗
Typen
- ^ ist das Hochzeichen: e^x = eˣ
- f(x)=e^x nennt man die einfache e-Funktion ↗
- f(x)=a·e^x nennt man die erweiterte e-Funktion ↗
- f(x)=a+e^(mx+b) nennt man die allgemeine e-Funktion ↗
- Weitere Typen unter e-Funktionen ↗
Eigenschaften der einfachen e-Funktion
- y-Achsenabschnitt (0|1)
- Es gibt keine Nullstellen.
- Es gibt keine Hoch- oder Tiefpunkte.
- Es gibt keine Wende- oder Sattelpunkte.
- Die erste Ableitung von f(x)=e^x ist f(x)=e^x.
- Die Steigung ist an jeder Stelle gleich dem y-Wert.
Besonderheit
- Das Besondere an der einfachen e-Funktion ist folgende Eigenschaft:
- An jedem Punkt auf dem Funktionsgraphen ist die Steigung f'(x) ...
- vom Zahlenwert immer genau dasselbe wie der y-Wert an diesem Punkt.
- Man kann kurz formulieren: f'(x) = f(x)
Praktische Bedeutung
e-Funktionen sind Exponentialfunktionen. Sie sind aber deutlich leichter abzuleiten als andere Exponentialfunktion. Man kann über die Potenzgesetze jede beliebige Exponentialfunktion in eine e-Funktion umwandeln. Das erleichert zum Beispiel die Durchführung einer Kurvendiskussion. Zur Grundidee der Umwandlung, siehe unter Potenzbasis umwandeln ↗
