Doppelnullstelle
Nullstelle ist auch Extrempunkt
Basiswissen
Definition: eine Doppelnullstelle ist ein x-Wert einer Funktion. Bei diesem x-Wert hat der Graph sowohl einen Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt) sowie auch einen Nullpunkt (y-Wert ist 0).
Definition
Der Graph einer Funktion berührt die x-Achse, das heißt er hat einen Punkt mit der x-Achse gemeinsam. Dabei durchschneidet der Graph aber die x-Achse weder von oben nach unten noch von unten nach oben. Stattdessen ist der Berührpunkt des Graphen mit der x-Achse gleichzeitig entweder ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt im Sinne der Analysis. Der x-Wert eines solchen Berührpunktes ist immer eine sogenannte Doppelnullstelle.
Eigenschaften von Doppelnullstellen
- Eine Doppelnullstelle ist immer auch ein Extrempunkt ↗
- Zu den Exrempunkten zählen Hoch- und Tiefpunkte.
- Im Funktionsterm erkennt man Doppelnullstellen daran, dass man x² ausklammern kann.
- In der pq-Formel entstehen Doppelnullstellen, wenn der Wurzelterm zu 0 wird.
- Doppelnullstellen gehören zu den Mehrfachnullstellen ↗
Beispiele für Doppelnullstellen
- f(x) = (x-2)²-16 hat bei x=2 eine Doppelnullstelle
- f(x) = x²-8x+16 hat bei x=4 eine Doppelnullstelle
- f(x) = x²(x+2) hat bei x=0 eine Doppelnullstell
- f(x) = x² hat bei x=0 eine Doppelnullstelle
Wie bestimmt man eine Doppelnullstelle?
- Es gibt verschiedene Methoden:
- pq-Formel wird 0; man kann x² ausklammern; Graph analysieren:
- Lies mehr unter Doppelnullstelle bestimmen ↗
Können alle Funktionstypen Doppelnullstellen haben?
Nein: nur Funktionstypen die auch lokale Hoch- oder lokale Tiefpunkte haben können und bei denen an diesen Extrempunkten die erste Ableitung gebildet werden kann und die dort dann die Steigung Null haben, können eine Doppelnullstelle haben. Mathematisch gesprochen müssen die Funktionen im Bereich möglicher Doppelnullstellen stetig und differenzierbar sein. Das sind zum Beispiel die ganzrationalen Funktion ab dem Grad zwei (quadratisch, kubisch etc.), die trigonometrischen Funktion sowie viele verknüpfte Funktionen.
Beispiele für Funktionstypen, die Doppelnullstellen haben können
- Scheitelpunkt auf der x-Achse quadratische Funktion ↗
- Extrempunkt auf der x-Achse kubische Funktion ↗
- Extrempunkt auf der x-Achse quartische Funktion ↗
- Nach oben oder unten verschobene Sinusfunktion ↗
- Nach oben oder unten verschobene Kosinusfunktion (externer Link)
- Eine passend verknüpfte Funktion ↗
- Eine passend verkettete Funktion ↗
Beispiele für Funktionstypen ohne Doppelnullstellen
- Die Wurzelfunktion ↗
Woher haben Doppelnullstellen ihren Namen?
- Doppelt meint, dass ein bestimmter x-Wert im Funktionsterm an zwei Stellen - also doppelt - eine Nullstelle ist.
- Betrachten wir als Beispiel die Funktion f(x) = (x-1)² oder anders geschrieben: f(x) = (x-1)·(x-1)
- Wenn man die eins in die linke Klammer einsetzt, wird der ganze Funktionsterm 0, also ist x=1 links eingesetzt eine Nullstelle.
- Aber auch wenn man für x in der rechten Klammer die 1 einsetzt, wird der ganze Funktionsterm zu 0.
- Es gibt also zwei Orte, an denen man denselben x-Wert einsetzen kann und die Funktion wird zu.
- Daher kommt der sprechende Name einer Doppelnullstelle.
- Ähnlich defniert ist eine Dreifachnullstelle ↗