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Doppelnullstelle


Nullstelle ist auch Extrempunkt


Basiswissen


Definition: eine Doppelnullstelle ist ein x-Wert einer Funktion. Bei diesem x-Wert hat der Graph sowohl einen Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt) sowie auch einen Nullpunkt (y-Wert ist 0).

Definition


Der Graph einer Funktion berührt die x-Achse, das heißt er hat einen Punkt mit der x-Achse gemeinsam. Dabei durchschneidet der Graph aber die x-Achse weder von oben nach unten noch von unten nach oben. Stattdessen ist der Berührpunkt des Graphen mit der x-Achse gleichzeitig entweder ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt im Sinne der Analysis. Der x-Wert eines solchen Berührpunktes ist immer eine sogenannte Doppelnullstelle.

Eigenschaften von Doppelnullstellen



Beispiele für Doppelnullstellen



Wie bestimmt man eine Doppelnullstelle?



Können alle Funktionstypen Doppelnullstellen haben?


Nein: nur Funktionstypen die auch lokale Hoch- oder lokale Tiefpunkte haben können und bei denen an diesen Extrempunkten die erste Ableitung gebildet werden kann und die dort dann die Steigung Null haben, können eine Doppelnullstelle haben. Mathematisch gesprochen müssen die Funktionen im Bereich möglicher Doppelnullstellen stetig und differenzierbar sein. Das sind zum Beispiel die ganzrationalen Funktion ab dem Grad zwei (quadratisch, kubisch etc.), die trigonometrischen Funktion sowie viele verknüpfte Funktionen.

Beispiele für Funktionstypen, die Doppelnullstellen haben können



Beispiele für Funktionstypen ohne Doppelnullstellen



Woher haben Doppelnullstellen ihren Namen?