Definitionsbereich


Definition


Basiswissen


Alle Zahlen, zu denen es einen y-Wert gibt: das Wort Definitionsbereich gehört normalerweise zu einer mathematischen Funktion. Der Definitionsbereich sind alle x-Werte denen die Funktion eindeutig einen y-Wert zuordnet. Der Definitionsbereich kann darüberhinaus aus sachlichen Gründen noch weiter eingeschränkt werden.

Definition


Bei Funktionen meint der Definitionsbereich alle x-Werte, zu denen es genau einen y-Wert gibt, für die die Funktion also definiert ist. x-Werte außerhalb des Definitionsbereiches werden nicht betrachtet. Allgemein ist der Definitionsbereich eine Menge von Elementen (Dingen), über die man eine Aussage trifft oder für die man eine Eigenschaft definiert.

Beispiele


◦ Man betrachte die Aussage: malrechnen macht das Ergebnis nie kleiner.
◦ Als Definitionsbereich legt man fest: alle natürlichen Zahlen.
◦ Für die natürlichen Zahlen (1; 2; 3 etc.) ist die Aussage immer wahr.

Begrenzung


◦ Man betrachte die Aussage: malrechnen macht das Ergebnis immer größer.
◦ Als Definitionsmeng legt man fest: alle natürlichen Zahlen ohne die 1.
◦ Die 1 macht das Ergebnis nicht größer als die Ausgangszahl.
◦ Deshalb nimmt man sie aus dem Definitionsbereich heraus.

Funktionen


◦ Definitionsbereiches spielen bei Funktionen eine wichtige Rolle.
◦ Hier meint Definitionsbereich: alle für x erlaubten Werte.
◦ Der Definitionsbereich wird abgekürzt mit einem großen D.
◦ Beispiel: f(x)=x³-x² mit D = {-1 < x < 2}
◦ Man darf für x Werte von -1 bis 2 einsetzen.

Definitionsbereich für Graphen


Eine Funktion hat nur innerhalb des Definitionsbereiches einen Graphen. Ist zum Beispiel f(x) = x² nur definiert für x-Werte zwischen 1 bis 3, dann wird auch der Graph nur von x=1 bis x=3 gezeichnet.


Definitionslücke


◦ Als Definitionslücke bezeichnet man "verbotene" Elemente.
◦ Die Funktion f(x)=1:x ist nicht definiert für x=0.
◦ Grund: 1:0 ist verboten, siehe unter => durch 0
◦ Weitere Beispiele unter => Definitionslücken

Schreibweisen


◦ Als Abkürzung verwendet werden das D und das D mit doppelten Strich:
◦ D = [-1|2] = -1 und 2 gehören dazu => beidseitig geschlossenes Intervall
◦ D = ]-1|2[ = die -1 gehört nicht dazu => beidseitig offenes Intervall
◦ D = ]-1|2] = die -1 gehört nicht dazu => linksoffenes Intervall
◦ D = ]-1|2] = die 2 gehört dazu => rechtsoffenes Intervall
◦ D = [-1|2[ = die 2 gehört nicht dazu => rechtsoffenes Intervall
◦ D = N meint alle => natürliche Zahlen
◦ D = R meint alle => reelle Zahlen
◦ D = R {} meint alle rellen Zahlen ohne die 0
◦ D = {3; 7; -5; 20} meint die aufgelisteten Zahlen
◦ D = {x | x<5} meint: x derart dass x kleiner ist als 5
◦ D = {x | 2 ◦ Mehr unter => Mengenschreibweisen

Synonyme


=> Definitionsbereich
=> Definitionsmenge
=> Grundmenge
=> Quellmenge