Cosinussatz


Dreiecke


Basiswissen


c² = a² + b² - 2·a·b·cos(Gamma)Lehrsatz, gilt für alle (ebenen) Dreiecke. Anders als die reine Cosinusfunktion, die nur für rechtwinklige Dreiecke gilt, gilt der Cosinussatz für alle Dreiecke, also auch solche, die nicht rechtwinklig sind.

Lehrsatz


◦ c² = a² + b² - 2·a·b·cos(Gamma)

Legende


◦ a: Länge irgendeiner Seite des Dreiecks
◦ b: Länge irgendeiner anderen Seite des Dreiecks
◦ c: Länge der verbleibenden Seite, es muss nicht die längste sein
◦ Gamma: Winkel zwischen den Seiten a und b

Sinn


Quadriere die Länge irgendeiner Seite eines beliebigen Dreiecks. Das wird immer das gleiche Ergebnis geben wie die folgende Rechnung: Quadriere die Längen der beiden anderen Seiten und bilde die Summe aus den Quadraten. Ziehe davon das Produkt aus den Längen der beiden anderen Seiten und dem Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels ab. Was dabei herauskommt wird gleich dem Quadrat der Länge der ersten Seite sein.