Chowla-Vermutung
Zahlentheorie
Definition
Die Chowla-Vermutung besagt, dass die Funktionswerte Liouville Funktion statistisch nicht nicht zwischen benachbarten Zahlen korrelieren. Anders gesagt: ob eine Zahl den Funktionswert -1 oder 1 hat ist nicht statistisch abhängig davon, welchen Funktionswert die Nachbarzahlen haben. Die Vermutung gilt als weder bewiesen noch widerlegt. Das ist hier kurz vorgestellt.
Was ist die Liouville-Funktion?
Die Liouville-Funktion ordnet jeder natürlichen Zahl entweder eine 1 oder eine -1 zu. Die -1 steht für eine ungerade Anzahl von Primfaktoren, die 1 steht für eine gerade Anzahl von Primfaktoren. Das ist hier kurz mit einem Zahlenbeispiel vorgestellt. Mehr unter Liouville-Funktion ↗
Die Chowla-Vermutung
Weiter unten stehen einige Funktionswerte der Liouville-Funktion. Die Chowla-Vermutung sagt nun, dass es für große Anzahl untersuchter Funktionsargumente keine erkennbare statistische Abhängigkeit zwischen ihren Funktionswerten und den Funktionswerten benachbarter Funktionsargumente gibt.
- Die 1 hat die Primfaktoren: 1 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
- Die 2 hat die Primfaktoren: 1;2 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
- Die 3 hat die Primfaktoren: 1;3 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
- Die 4 hat die Primfaktoren: 1;2;2 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
- Die 5 hat die Primfaktoren: 1;5 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
- Die 6 hat die Primfaktoren: 1;2;3 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
- Die 7 hat die Primfaktoren: 1;7 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
- Die 8 hat die Primfaktoren: 1;2;2;2 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
- Die 9 hat die Primfaktoren: 1;3;3 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
- Siehe auch Liouville-Funktion ↗
Warum ist die Vermutung eine Forschungsfrage?
Die Vermutung galt mit Stand des Jahres 2022 weder als bewiesen noch als widerlegt. Mehrere Mathematiker arbeiten an einem entsprechenden Beweisverfahren. Für weitere Beispiele ungelöste Fragen siehe unter Forschungsfragen ↗
Fußnoten
- [1] Die Zahlen-Verschwörung. In: Spektrum der Wissenschaft. Mai 2022. Seite 26 bis 28.
- [2] K. Matomäki, M. Radziwill: Multiplicative functions in short intervals. Annals of mathematics 183, 2016.