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Binomische Formeln Sinn


Wozu braucht man sie?


Basiswissen


Mit binomischen Formeln kann Klammern schneller aufzulösen. Rückwärts angewendet können sie dabei helfen Terme zu Faktorisieren.

Ausführlich


In der Schule werden drei binomische Formeln behandelt. Hier wird kurz erklärt, wozu eine binomische Formel gut sind. Man kann sie hauptsächlich dazu benutzen, bestimmte Arten von Klammern schnell aufzulösen. Hier sind die drei Arten von Klammern, die man schnell mit einer binomischen Formel auflösen kann:

Klammertypen


1. (a+b)(a+b)
2. (a-b)(a-b)
3. (a+b)(a-b)

Zwischen den Klammern steht ein unsichtbares Mal. Die kleinen Buchstaben a und b stehen für irgendwelche Zahlen oder sonstige Terme. Ein kleines a könnte also zum Beispiel auch ein "3x" oder ein "2y" oder auch einfach nur die Zahl "5" sein.

Auflösen


Um die Klammern oben aufzulösen, müsste man jeden Buchstaben aus der ersten Klammer mit jedem Buchstaben aus der zweiten Klammer malnehmen. Dabei müssen die Vorzeichen mitmultipliziert werden. Hier wäre die Auflösung:

1. a·a + a·b + b·a + b·b
2. a·a - a·b - a·b + b·b
3. a·a - a·b + b·a - b·b

Zusammenfassen


1. a·a + 2·a·b + b·b
2. a·a - 2·a·b + b·b
3. a·a - b·b

Kurzform


(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² - 2ab + b²
(a+b)(a-b) = a² - b²

Die Formeln gehen schnell


Eigentlich könnte man diese Schritte immer wieder neu gehen. Man könnte die Klammern immer so auflösen wie oben. Das dauert aber recht lange. Stattdessen lernt man für jede der drei Aufgabenarten oben die Lösungen unten auswendig. Diese auswendig gelernten Schritte oder Ergebnisse, das sind die drei binomischen Formeln. Sie spielen in der Mathematik an vielen Stellen eine hilfreiche Rolle.

Faktorisieren mit binomischen Formeln


Faktorisieren nennt man die Umwandlung eines Termes in eine Produktform. Aus dem Term 8x könnte ich zum Beispiel 2·4x machen, dann hätte ich den Term auch faktorisiert. Wendet man die Formeln von oben rückwärts an, dann hat man die Terme sozusagen auch faktorisiert.