Bernoulli-Ketten-Formel

B(n,k,p)

Basiswissen

Wie lautet die Formel?

• B(n,k,p) = (n über k)·pᵏ·(1-p)ⁿ⁻ᵏ
  

• P(X=k) = (n über k)·pᵏ·(1-p)ⁿ⁻ᵏ
  

Legende

• B(n;k;p) = Wahrscheinlichkeit P für k Treffer in der Bernoulli-Kette der Länge
  

• P(X=k) = Wahrscheinlichkeit dass die Zufallsgröße X genau k ist.
  

• P(X=k) meint bei Bernoulli-Ketten dasselbe wie B(n,k,p).
  

• (n über k) = n!/[k!·(n-k)!] ist der Binomialkoeffizient ↗
  

• p = Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, z.B. 1/6 beim Würfeln
  

• n = Länge der Bernoulli-Kette, z. B.: 5 mal Würfeln: n=5
  

• k = Anzahl der Treffer, z. B.: 3 Sechser: k=3
  

• / = Bruchstrich
  

Wofür genau steht das große P?

• Das große P (probability) steht für die Wahrscheinlichkeit genau k Treffer zu bekommen.
  

• 5 mal würfeln (n=5), wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffen: P = gesucht
  

Wofür genau steht das kleine n?

• Das kleine n steht für die Länge der Bernoulli-Kette.
  

• Das kleine n ist deshalb auch immer nur eine natürliche Zahl ↗
  

• Beispiel: 10 mal Würfeln, gibt: n=10
  

• Siehe auch Bernoulli-Kette ↗
  

Wofür genau steht das kleine k?

• Das kleine k steht für die Anzahl der Treffer/Erfolge, für die man P berechnen will.
  

• Beispiel: 10 mal würfeln (n=10). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P für 4 Treffer: k=4
  

• k ist also die Anzahl der Treffer ↗
  

Wofür genau steht das kleine p?

• Das kleine p heißt auch Erfolgs- oder Trefferwahrscheinlichkeit, seltener auch Anteilswert.
  

• Das kleine p steht für die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Bernoulli-Experiment ein Treffer/Erfolg eintritt.
  

• Viele dieser Bernoulli-Experimente geben dann zusammen die Bernoulli-Kette der Länge n.
  

• Beispiel: 5 mal normal würfeln, 6er gilt als Treffer: p=1/6
  

Was bedeutet das Ausrufezeichen?

• n über k = n! durch [k! mal (n-k)!]
  

• Das Ausrufezeichen spricht man: Fakultät
  

• 10! ist 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10 = 3628800
  

• Mehr unter Fakultät ↗
  

Wie berechnet man n über k?

• Allgemein: (n über k) = n! durch [k!·(n-k)!]
  

• Zahlenbeispiel: Was ist 5 über 3?
  

• Ausgeschrieben gibt das:
  

• 5!/^[3!·(5-3)!] = 5!/^[3!·2!]
  

• Vereinfacht zu: 120/(6·2) = 10
  

• Mehr unter n über k ↗
  

Gerechnetes Zahlenbeispiel

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 5 mal würfeln, genau 3 mal eine 6 zu erhalten?
  

• Man bestimmt zunächst die Zahlenwerte für n, k, und p.
  

• n ist die Anzahl der Einzelversuche, hier also: n=5
  

• k ist die Anzahl der gewünschten Treffer, hier: k=3
  

• p ist die Wahrscheinlichkeit für Treffer bei einem Teilversuch, hier: p=1/6
  

• Einsetzen: - B(5,3,1/6) = (5 über 3)·(1/6)³·(1-1/6)⁵⁻³
  

• Vereinfachen: B(5,3,1/6) = 10·(1/6)³·(5/6)²
  

• Ausrechnen: 250/6⁵ ≈ 0,032 oder etwa 3 %.
  

Wie kann man das Endergebnis kontrollieren?

• a) Wahrscheinlichkeiten müssen immer zwischen 0 und 1 liegen.
  

• b) Rechnet man B(n,k,p) für alle möglichen k-Werte aus, muss deren Summe 1 ergeben.
  

Weitere Zahlen-Beispiele

• B(5,0,½) = 0.03125
  

• B(5,1,½) = 0.15625
  

• B(5,2,½) = 0.3125
  

• B(5,3,½) = 0.3125
  

• B(5,4,½) = 0.15625
  

• B(5,5,½) = 0.03125
  

• B(5,0,⅙) ≈ 0.401878
  

• B(5,1,⅙) ≈ 0.401878
  

• B(5,2,⅙) ≈ 0.160751
  

• B(5,3,⅙) ≈ 0.032150
  

• B(5,4,⅙) ≈ 0.003215
  

• B(5,5,⅙) ≈ 0.000129
  

Was ist eine Bernoulli-Kette?

• Eine Bernoulli-Kette ist eine Art Reihenversuch.
  

• Man hat einen Teilversuch, bei dem man nur zwischen Treffer und nicht Treffer unterscheidet.
  

• Beispiel: man würfelt und unterscheidet nur: hat man eine 6 (Treffer) oder nicht (kein Treffer)?
  

• Führt man solch einen Teilversuch mehrmals hintereinander aus, hat man eine Versuchsreihe.
  

• Eine solche Versuchsreihe nennt man dann eine Bernoulli-Kette.
  

• Die typische Frage ist: Was ist die Wahrscheinlichkeit für soundsoviele Treffer?
  

• Genau diese Wahrscheinlichkeit wird mit der Bernoulli-Ketten-Formel berechnet.
  

• Mehr dazu unter Bernoulli-Kette ↗
  

Was ist eine Binomialverteilung?

• Man hat eine Bernoulli-Kette, z. B. man wirft 5 mal hintereinander eine Münze.
  

• Man definiert als Treffer, dass Kopf kommt. Zahl ist dann entsprechend kein Treffer.
  

• Man will dann die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen k-Werte bestimmen.
  

• Eine Berechnung würde dann ergeben:
  

• P(0 Treffer) = 0.03125
  

• P(1 Treffer) = 0.15625
  

• P(2 Treffer) = 0.3125
  

• P(3 Treffer) = 0.3125
  

• P(4 Treffer) = 0.15625
  

• P(5 Treffer) = 0.03125
  

• Eine solche Darstellung aller möglichen k-Wert-Wahrscheinlichkeiten ...
  

• nennt man eine Binomialverteilung ↗
  

Fußnoten

• [1] Eine Uhr besteht aus einer gigantisch großen Anzahl von Atomen. Jedes Atom für sich verhält sich in seinen Bewegungen recht zufällig. Die vielen Zufälle gleichen sich meist gegenseitig aus. Es könnte aber sein, dass alle Atome oft hintereinander gleichzeitig so in eine bestimmte Richtungen springen, dass dadurch die Uhr merklich falsch geht. So argumentiert zumindest der Physiker und Nobelpreisträger Erwin Schrödinger (1887 bis 1961): "Ein Uhrwerk aus realer stofflicher Materie ist im Gegensatz zu einem nur in der Einbildungskraft bestehenden kein echtes »Uhrwerk«. Das Zufallsmoment mag mehr oder weniger zurückgedrängt, die Wahrscheinlichkeit, daß die Uhr plötzlich ganz falsch geht, unendlich klein sein, im Hintergrund ist sie aber immer da." In: Erwin Schrödinger: Was ist Leben?: Die lebende Zelle mit den Augen des Physikers betrachtet. R. Piper GmbH & Co. KG, München 1987. ISBN: 3-492-11134-3. Dort die Seite 118. Siehe auch Zufall ↗