Bayes-Schüssel-Versuch (Baumdiagramm)
Stochastik
Kurzbeschreibung
Etwa 60 Minuten: ein Tisch-Versuch zur bedingten Wahrscheinlichkeit und einer Auswertung über ein zweistufiges Baumdiagramm. Hier steht eine Schritt-für-Schritt Anleitung dazu.
Kurzanleitung
In einer Schüssel befinden sich Würfel. Es gibt helle und dunkle Würfel. Ein heller oder auch ein dunkler Würfel kann einen Punkt haben oder auch nicht. Die Frage ist: hängt die Wahrscheinlichkeit dafür, einen gepunkteten Würfel zu ziehen von der Helligkeit des Würfels ab? Sind Punktiertheit und Helligkeit statistisch voneinander abhängig? Das kann man rechnerisch mit Hilfe von einem Baumdiagramm herausfinden. Das ist hier als Versuch Schritt-für-Schritt erklärt.
Wozu soll der Versuch gut sein?
Den Versuch in Ruhe durchzuführen kann sehr dabei helfen, die eigentliche Bedeutung der bedingten Wahrscheinlichlichkeit zu verstehen (Deep Learning). Die Bedeutung, das tiefere Verständnis kommt oft nur von alleine hinzu, als Aha-Erlebnis. Das stellt sich oft dann ein (aber nicht immer zuverlässig), wenn man sich sehr lange mit einer Sache beschäftigt.
Schritt 1
- Aufbau:
- Die Bayes Schüssel mit den Kubikzentimeterwürfeln aus Kiste 8
- Schmierpapier für Notizen ↗
- Zum Schreiben ein Stift ↗
Schritt 2
- Ablauf: Nehme ohne hinsehen einen Würfel heraus.
- Notiere ob der Würfel hell oder dunkel ist und ob er punktiert ist oder nicht.
- Lege den Würfel wieder in die Kiste zurück.
- Mische die Würfel, etwa durch Schütteln.
- Führe das 100 mal durch.
Schritt 3
- Erstelle nun ein Baumdiagramm aus deinen Ergebnissen
- Schritt-für-Schritt Anleitung:
- Fange oben an mit zwei Ästen.
- Schreibe unter den linken Ast: h (für "hell").
- Schreibe unter den rechten Ast: d (für "dunkel").
- Schreibe die Wahrscheinlichkeit neben den linken Ast, dass ein heller Würfel gezogen wurde.
- Schreibe die Wahrscheinlichkeit neben den rechten Ast, dass ein dunkler Würfel gezogen wurde.
- Zeichne vom linken Ast aus zwei weitere Äste nach unten.
- Schreibe unter den linken Ast: P ("Punkte").
- Schreibe unter den rechten Ast: durchgestrichenes P (keine Punkte)
- Schreibe die Wahrscheinlichkeit unter den linken Ast, dass ein gepunkteter und heller Würfel gezogen wurde.
- Schreibe die Wahrscheinlichkeit unter den rechten Ast, dass ein nicht gepunkteter und heller Würfel gezogen wurde.
- Zeichne vom rechten oberen Ast aus zwei neue Äste nach unten.
- Schreibe unter den linken Ast: P
- Schreibe unter den rechten Ast: P durchgestrichen
- Schreibe die Wahrscheinlichkeit unter den linken Ast, dass ein gepunkteter und dunkler Würfel gezogen wurde.
- Schreibe die Wahrscheinlichkeit unter den linken Ast, dass ein nicht gepunkteter und dunkler Würfel gezogen wurde.
- Jetzt fehlen noch die Werte neben den vier unteren Pfaden.
- Diese können über die Pfadregel rückwärts angewandt berechnet werden.
- Eine Anleitung dazu steht unter bedingte Wahrscheinlichkeit aus Baumdiagramm ↗
- Diese vier Wahrscheinlichkeiten neben den unteren Ästen sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten.
Schritt 4: Selbst-Kontrolle
- Überprüfen nun nochmal deine Wahrscheinlichkeiten:
- Ergeben die beiden Wahrscheinlichkeiten neben den Ästen, die jeweils von einem Knoten nach unten führen genau 1? Siehe auch Summenregel für Zweige ↗
- Ergeben die 4 Wahrscheinlichkeiten an den 4 Endknoten (den Ausgängen) genau 1? Siehe auch Summenregel für Ausgänge ↗
Beispielhafte Auswertung I
- In diesem Beispiel beschreibt der linkeste untere Ast die bedingte Wahrscheinlichkeit P(punktiert|hell) .
- Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein heller Würfel auch gepunktet ist.
Beispielhafte Auswertung II
- Wenn man wissen will, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Würfel nicht punktiert ist wenn ein dunkler Würfel gezogen wurde P(nicht punktiert|dunkel)
- Rechne die Wahrscheinlichkeit einen dunklen, nicht punktierten Würfel zu ziehen geteilt durch die Wahrscheinlichkeit einen dunklen Würfel zu ziehen.
- In dem Baumdiagramm wird das durch den rechtesten unteren Ast dargestellt.
Fragen zum Versuch
Einige Fragen zum Verständnis der bedingten Wahrscheinlichkeit sind hier als Quickcheck zusammengestellt. Zu allen Fragen gibt es auch eine Antwort. Direkt zu den Fragen geht es über => qck
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