Assoziativgesetz

Plus- und Mal: Klammern sind egal

Basiswissen

Aussage des Assoziativgesetzes allgemein

• Aufgaben, bei denen nur plus gerechnet wird heißen Plusketten.
  

• Aufgaben, bei denen nur mal gerechnet wird heißen Malketten.
  

• Bei reinen Plus- und bei reinen Malketten sind Klammern egal.
  

• Man kann Klammern immer setzen, weglassen oder verschieben.
  

• Egal was man mit den Klammern macht, es kommt immer dasselbe raus.
  

• Man sagt: Addition (plus) und Multiplikation (mal) sind assoziativ.
  

Das Assoziativgesetz für die Addition

• Angewandt auf die Addition, kann man sagen:
  

• Summenden können in beliebiger Reihenfolge zur Teilsummen verbunden werden^[1]
  

• Es gilt also zum Beispiel: 3+(4+5) = (3+4)+5 = (3+5)+4
  

• Man kann auch sagen: "In einer Summe aus drei oder mehr Zahlen darf man Klammern beleibig setzen oder weglassen. Dabei ändert sich der Wert der Summe nicht."^[3]
  

Das Assoziativgesetz für die Multiplikation

• Angewandt auf die Multiplikation, kann man sagen:
  

• Faktoren können in beliebiger Reihenfolge zur Teilprodukten verbunden werden^[2]
  

• Es gilt also zum Beispiel: 3·(4·5) = (3·4)·5 = (3·5)·4
  

• Man kann auch sagen: "In einem Produkt aus drei odre mehr Zahlen darf man Klammern beliebig setzen oder weglassen. Dabei ändert sich der Wert des Produktes nicht."^[3]
  

Was hat das mit dem Kommutativgesetz zu tun?

• Bei Plus- und Malketten macht die Rechenreihenfolge keinen Unterschied am Ergebnis.
  

• Also kann man die Zahlen vertauschen wie man will (Kommutativgesetz).
  

• Oder man kann Klammern setzen wie man will (Assoziativgesetz).
  

• Vertauschen oder Klammern setzen ändert die Rechenreihenfolge.
  

• Aber das ist bei Plus oder Mal vom Ergebnis her egal.
  

Beispiel für plus

• 3+4+2 = 9
  

• (3+4)+2 = 9
  

• 3+(4+2) = 9
  

Beispiel für mal

• 3·4·2 = 24
  

• (3·4)·2 = 24
  

• 3·(4·2) = 24
  

Wo gilt das Gesetz nicht?

• Bei der Subtraktion (minus)
  

• Bei der Division (geteilt)
  

• Beim Potenzieren (hoch)
  

• Bei gemischten Plus- und Malketten
  

• Hier können Klammern einen Unterschied machen.
  

Name

• Die Klammern verbinden Zahlen miteinander.
  

• Die verbundenen Zahlen sind rechnerisch enger beieinander.
  

• Gemeinschaft erzeugen heißt auf Latein assoziieren.
  

• Daher das Wort Assoziativgesetz
  

Synonyme

• Assoziativgesetz ↗
  

• Verbindungsgesetz ↗
  

• Verknüpfungsgesetz ↗
  

• Klammergesetz ↗
  

Fußnoten

• [1] Lehr- und Übungsbuch Mathematik. Band I. Verlag Harri Deutsch. Thun und Frankfurt/Main. 20. Auflage. 1989. ISBN: 3 871 44 401 4. Dort heißt es auf Seite 46: "Summanden können in beliebiger Reihenfolge zu Teilsummen verbunden werden". Als Beispiel wird angeführt, dass (a+b)+c = a+(b+c) ist.
  

• [2] Lehr- und Übungsbuch Mathematik. Band I. Verlag Harri Deutsch. Thun und Frankfurt/Main. 20. Auflage. 1989. ISBN: 3 871 44 401 4. Dort heißt es auf Seite 55: "Faktoren können in beliebiger Reihenfolge zu Teilprodukten verbunden werden". Als Beispiel wird angeführt, dass (2·3)·5 = 2·(3·5) = 3·(2·5) ist.
  

• [3] Mathematik heute 5. Realschule. Schroedel Diesterweg Verlag. Braunschweig. 2005. ISBN: 3-507-87805-4. Dort auf Seite 92: "In einer Summe aus drei oder mehr Zahlen darf man Klammern beleibig setzen oder weglassen. Dabei ändert sich der Wert der Summe nicht." Sowie: "In einem Produkt aus drei odre mehr Zahlen darf man Klammern beliebig setzen oder weglassen. Dabei ändert sich der Wert des Produktes nicht."