Ableiten über Umkehrregel

Anleitung

Basiswissen

Legende

• f'(x) = erste Ableitung von f(x)
  

• f⁻¹ = Umkehrfunktion von f(x)
  

• (f⁻¹)' = Ableitung der Umkehrfunktion
  

Was ist eine Umkehrfunktion?

• Man hat f(x)=x² bzw. y=x²
  

• Funktionsgleichung nach x auflösen gibt die Umkehrfunktion:
  

• Die Umkehrfunktion: x = Wurzel aus y
  

• Mehr dazu unter Umkehrfunktion ↗
  

Regel

• f(x) soll abgeleitet werden zu f'(x).
  

• Erst die Umkehrfunktion von f(x) bilden.
  

• Dazu schreibt man statt f(x) kurz y.
  

• Man stellt dann um nach x.
  

• Dann davon die erste Ableitung bilden.
  

• Dann diese einsetzen: f'(x) = 1:(f⁻¹)'
  

• Wenn rechts vom Gleichzeichen noch ein y steht, dieses resubstituieren.
  

• Resubstitutieren heißt: für y den Funktionsterm mit x von f(x) einsetzen.
  

• Dann eventuell noch vereinfachen.
  

• Fertig.
  

Beispiele

• f(x) = x²
  

• f'(x) ist dann 1 durch die Ableitung der Umkehrfunktion.
  

• Die Umkehrfunktion von f(x) = x² ist x=√y oder x=y^0,5
  

• Die Umkehrfunktion abgeleitet ist: x' = 0,5y^(-0,5)
  

• Dann ist f'(x) = 1 durch^{[0,5y^(-0,5)]}
  

• Für y jetzt x² einsetzen (weil y=x²):
  

• f'(x) = 1 durch^{[0,5(x²)^(-0,5)]}
  

• Anwendung von Potenzen von Potenzen ↗
  

• f'(x) = 1 durch^{[0,5x^(-1)]}
  

• Anwendung von hoch minus ↗
  

• f'(x) = 2x
  

Leibniz-Notation

• Für f'(x) gibt es auch die Schreibeweise dy/dx.
  

• Diese Schreibeweise nennt man die Leibniz-Notation.
  

• Mit ihr lautet die Umkehrregel: dy/dx = 1/[dx/dy]
  

• Siehe auch = Leibniz-Notation